Ejercicios - MONTGOMERY D. C.
Ejercicio tomado de: MONTGOMERY D. C. Design and analysis of Experiments. 2013. Octava edición. John Wiley Sons, Inc. Capítulo 2, ejercicio 29. Pág. 62
Nota aclaratoria: La solución presentada a continuación es una propuesta de respuesta al ejercicio en mención y no representa la respuesta oficial del autor del ejercicio. Esta solución se proporciona con fines académicos y se recomienda su uso como referencia o punto de partida según las necesidades específicas del lector.
La fotorresistencia es un material sensible a la luz que se aplica a láminas semiconductoras para que el patrón del circuito pueda en la lámina. Tras la aplicación, las láminas recubiertas se hornean para eliminar el disolvente de la mezcla fotorresistente y endurecer la resina. A continuación, se muestran las mediciones del grosor (en kA) de ocho láminas horneadas a dos temperaturas diferentes. diferentes. Supongamos que todas las series se han realizado en orden aleatorio.
95° C 100° C
11.176 5.263
7.089 6.748
8.097 7.461
11.739 7.015
11.291 8.133
10.759 7.418
6.467 3.772
8.315 8.963
(a) ¿Existen pruebas que apoyen la afirmación de que una mayor temperatura de cocción da lugar a láminas con un menor espesor medio de la capa fotoresistente? use α = 0.05
En este caso, se tienen dos poblaciones independientes X y Y, las cuales representan las láminas que son horneadas a 95 °C y 100 °C, respectivamente. Se desea saber si existe una diferencia significativa en cuanto al espesor de las láminas cuando son expuestas a dos temperaturas distintas.
- Evaluación de varianzas: A través de la Prueba F, se debe evaluar si las varianzas de las dos poblaciones son estadísticamente iguales o diferentes, por lo tanto, se plantean las siguientes hipótesis:.
De acuerdo a los datos muestrales,
Bajo Ho, el estadístico de prueba en este caso es:
.
Luego, se tiene que:
Como es una prueba a dos colas, si 
rechazaremos Ho. En este caso,
4.994009;
Luego, no rechazaremos Ho y se concluye que a un nivel de significancia del 5% no hay evidencia significativa para afirmar que las varianzas de las láminas al someterlas temperaturas diferentes.
Código en R
> # Ingreso de datos > x <- c(11.176, 7.089, 8.097, 11.739, 11.291, 10.759, 6.467, 8.315) #95° C > y<- c(5.263, 6.748, 7.461, 7.015, 8.133, 7.418, 3.772, 8.963) #100° C > var(x) [1] 4.40817 > nx=length(x) > var(y) [1] 2.690999 > ny=length(y) > #Elaboración de la prueba F - manual > alfa<-0.05 > Ftab=qf((1-(alfa/2)),nx-1,ny-1) > Ftab [1] 4.994909 > #F calculado > Fcal=var(x)/var(y) > Fcal [1] 1.638117
- Evaluación de medias: Dado que 
, y teniendo en cuenta que se desea evaluar si a una mayor temperatura de cocción se obtienen láminas con un es menor espesor medio de la capa fotorresistente, se juzgarán las siguientes hipótesis referentes a la media del espesor de las láminas expuestas a ambas temperaturas:
Para juzgar esta hipótesis, se utiliza el primer criterio de evaluación de pruebas de hipótesis, es decir, el estadístico de prueba:
donde,
Las medias muestrales son las siguientes:
Luego, el estadístico de prueba calculado es:
Se rechaza la Ho si 
. En este caso 
por lo que sí rechazaremos Ho y se concluye que con un nivel de significancia del 5%, hay evidencia significativa para afirmar que la temperatura de cocción más alta produce láminas con un menor espesor fotoresistente.
Código en R:
> ## Prueba t - varianzas iguales > alfa<-0.05 > # Calculo de la varianza común: > sp2<-(((ny-1)*var(y)+(nx-1)*var(x))/(ny+nx-2)) > sp2 [1] 3.549585 > # Calculo de la desviación común: > sp<-(((ny-1)*var(y)+(nx-1)*var(x))/(ny+nx-2))^(1/2) > sp [1] 1.884034 > #t calculado > tcal=(mean(x)-mean(y))/(sp*(((1/nx)+(1/nx))^(1/2))) > tcal [1] 2.675111 > #grados de libertad > gl<-(ny+ny-2) > gl [1] 14 > #t tabulado > ttab<-qt((1-(alfa)),gl) #t tabulado a una cola > ttab [1] 1.76131
(b) ¿Cuál es el valor p de la prueba realizada en la parte (a)?
Se utiliza el segundo criterio para evaluación de pruebas de hipótesis. En este caso, el p-valor estaría dado por:
Se rechaza la Ho si p-valor < α. Al comparar este p-valor con α=0.05, se llega a la misma conclusión de rechazar Ho.
Código en R:
> #p-value > p_value<-(pt(tcal,gl)) > p_value [1] 0.990941
(c) Encuentre el intervalo de confianza del 95% sobre la diferencia de medias. Proporcione una interpretación práctica de este intervalo.
Se utiliza el tercer criterio para evaluación de pruebas de hipótesis. Para este caso, el intervalo de confianza (unilateral) para la diferencia de medias se construye a partir del estadístico de prueba usado anteriormente, es decir:
Haciendo los respectivos cálculos, se tiene que:
Como la cota inferior del intervalo es más grande que 0, se rechaza la Ho y se concluye que con una mayor temperatura de cocción, se obtienen láminas con un menor espesor medio de la capa fotorresistente.
Código en R:
> #IC para la media - una cola > IC<-c((mean(x)-mean(y))-qt((1-(alfa)),gl)*(((var(y)/ny)+(var(x)/nx))^(1/2)), + (mean(x)-mean(y))+qt((1-(alfa)),gl)*(((var(y)/ny)+(var(x)/nx))^(1/2))) > IC [1] 0.8608158 4.1791842
(d) Dibuje el diagrama de puntos para ayudar a interpretar los resultados de este experimento.
En este gráfico se puede ver que, en términos generales, al exponer las láminas a una temperatura de 95 °C (azul) se obtienen láminas con una mayor capa de fotoresistencia que las obtenidas con una temperatura de 100 °C (verde).
Código de R:
> x11()
> plot(x, pch=15, col="blue", xlab="No. de lámina",
+ ylim=(c(3,12)),
+ ylab= "Espesor de la capa fotoresistente",
+ main= "Grafico de Dispersión")
> points(y, pch = 15, col = "green")
> grupos <- c("95 °C", "100 °C")
> colores <- c("blue", "green")
> legend("topright", legend = grupos, col = colores,
+ pch = 15, title = "Temperaturas")
(e) Verifique el supuesto de normalidad en los resultados obtenidos para el grosor de la capa de fotoresistencia para cada temperatura
Utilizando el código para Pruebas de Normalidad, se obtienen los siguientes resultados:
PRUEBA DE NORMALIDAD p-VALOR p-VALOR
(50 °C) (100 °C)
Kolmogorov-Smirnov 0.9795 0.7302
Shapiro-Wilk 0.5911 0.5607
Anderson-Darling 0.5636 0.429
Lilliefors 0.8461 0.2663
De acuerdo con los resultados obtenidos, se concluye que los datos correspondientes el grosor de la capa de fotoresistencia para ambas tempraturas evaluadas (50 °C y 100 °C), si tienen una distribución normal, y por lo tanto, las conclusiones obtenidas en la comparación de medias (Prueba t) si son confiables.
(f) Hallar la potencia de esta prueba para detectar una diferencia real en la media de 2.5kA.
La función de potencia para esta prueba cuando la diferencia de medias es de 2.5kA es:
(g) ¿Qué tamaño de muestra sería necesario para detectar una diferencia real de medias de 1,5 kA con una potencia de al menos 0,9?
Luego:
Entonces,
Es decir que se requiere un tamaño de muestra total de n = 31 para obtener una diferencia significativa de medias de 1.5 con una potencia del 90%.
Referencias:
(1) MONTGOMERY D. C. Design and analysis of Experiments. 2013. Octava edición. John Wiley Sons, Inc. Capítulo 2, ejercicio 29. Pág. 62.
