Curvas de operación (CO)
Curvas de operación (CO)
Para evaluar la cantidad de artículos defectuosos en una muestra, se utiliza la distribución de probabilidades binomial. Esta distribución permite calcular la probabilidad de que en la muestra de tamaño n tomada de un lote de tamaño N conocido, haya un numero indicado de unidades defectuosas.
Por ejemplo, si el fabricante de frascos para productos en aerosol asegura que hay 3 envases defectuosos por cada 100 envases fabricados, entonces al seleccionar aleatoriamente varias muestras de tamaño n=100, se esperaría encontrar exactamente 3 productos defectuosos en promedio. Sin embargo, debido a la aleatoriedad en la selección de los artículos en cada muestra, algunas muestras tendrán menos de tres unidades defectuosas y otras tendrán más, a pesar de provenir del mismo lote. Al calcular la distribución de probabilidad binomial para este escenario, se obtendrán los siguientes resultados:
## Número de Probabilidad Probabilidad
## defectuosos absoluta acumulada
## 1 0 0.0476 0.0476
## 2 1 0.1471 0.1947
## 3 2 0.2252 0.4199
## 4 3 0.2275 0.6474
## 5 4 0.1706 0.8180
## 6 5 0.1013 0.9193
## 7 6 0.0496 0.9689
## 8 7 0.0206 0.9895
## 9 8 0.0074 0.9969
## 10 9 0.0023 0.9992
## 11 10 0.0007 0.9999
A continuación, se puede observar las gráficas correspondientes a la probabilidad absoluta de la distribución binomial para diferentes p, así como la tabla con las distribuciones acumuladas:
Así como la tabla de probabilidades acumuladas calculadas para las siguientes proporciones de unidades defectuosas: 0.001, 0.005, 0.01, 0.015, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06, 0.07, 0.08 y 0.1:
Es importante tener en cuenta que lo que se observa en una muestra no es idéntico a lo que existe en la población o lote completo. Por lo tanto, al tomar decisiones sobre la población basadas en una muestra, es necesario recurrir a métodos estadísticos respaldados por algún modelo de probabilidad. En el contexto del muestreo de aceptación, este modelo probabilístico se conoce como la curva característica de operación.
La curva de operación CO
La curva de operación (CO) es una herramienta fundamental para analizar un plan de muestreo, ya que muestra las probabilidades de aceptación en función de la proporción de unidades defectuosas de la muestra. La curva CO proporciona información importante sobre el tipo de calidad que ofrece el plan de muestreo e indica el nivel de calidad que no es aceptable según dicho plan.
Pasos para construir una curva de operación CO:
Paso : Según el tipo de defecto, se debe establecer cuántas unidades defectuosas se está dispuesto a aceptar. Por ejemplo, para el caso de la prueba de deformación y estallido mencionada anteriormente, se decide aceptar 1 unidad defectuosas por cada 100 unidades. A este valor se le llama c.
c es el número de unidades defectuosas que estamos dispuestos a aceptar en la muestra
Paso : A partir de la tabla de probabilidades acumuladas, graficar las probabilidades acumuladas obtenidas para c con respecto a diferentes proporciones de defectuosos.
A continuación, se puede observar la curva de operación para c=1, n=100:
Términos utilizados en las Curvas CO:
El Nivel de Calidad Aceptable (NCA): También conocido como AQL (Acceptable Quality Level). Se define como el porcentaje máximo de unidades que no cumplen con la calidad especificada estándares de calidad establecidos pero que son consideradas aceptables para la inspección por muestreo. Se le conoce también como el nivel de calidad del productor.
Riesgo del productor (α): Corresponde a la probabilidad α de que un lote no sea aprobado aun cuando éste cumpla con el NCA. Cuando un lote tiene un nivel de calidad igual al NCA, se espera que la probabilidad de aceptarlo sea alta, normalmente 0.90 ó 0.95 (se representa como 1 - α), sin embargo, se debe tener en cuenta que la probabilidad de aceptar un lote no es igual a 1. Ese es el riesgo que asume el productor, que en este caso corresponde a 0.1 ó 0.05, respectivamente.
El Nivel de Calidad Límite (NCL): También conocido como LQL (Limiting Quality Level), representa el estándar de calidad que se considera no satisfactorio, por lo tanto, los lotes que presentan este nivel de calidad deben ser rechazados.
Riesgo del consumidor (β): Corresponde a la probabilidad β de aceptar un lote cuyo nivel de calidad corresponde al NCL. Cuando un lote alcanza el NCL, se espera que la probabilidad de aceptarlo sea muy baja, generalmente alrededor de 0.05 o 0.10. A esta probabilidad se denota con la letra β. Es importante observar que esta probabilidad no es igual a cero, lo que implica que siempre existe un riesgo de aceptar lotes que no cumplen con los estándares deseables.
¿Cómo usar la Curva CO?
Para utilizar una curva CO, se debe definir:
- n: Tamaño de la muestra
- c: Número de unidades defectuosas dispuestas a aceptar en la muestra de tamaño n.
- NAC: Porcentaje máximo de unidades que no cumplen con la calidad especificada
Así por ejemplo, de acuerdo con el sistema de aseguramiento de la calidad del comprador, se ha establecido un plan n=100, c=1 y NAC=0.005. Por lo tanto, si el fabricante de envases de aerosol asegura tener una proporción de defectuosos de 0.03 (3 envases defectuosos por cada 100 envases fabricados), su probabilidad de aceptación es de 19.5%. Pero, si el fabricante de envases de aerosol mejora su proceso de producción disminuyendo el número de defectos a 0.005 (5 unidades defectuosas por cada 1000 envases fabricados), la probabilidad de aceptación sería de 91.0%.
La curva de muestreo me permite visualizar cuál plan de muestreo es más o menos exigente de acuerdo al tipo de defecto.
Propiedades de las curvas CO
1. No existe un plan de muestreo que tenga una curva ideal
2. A medida que aumenta el tamaño de la muestra y el número de criterios de aceptación, se logran planes que tienen una mayor capacidad para diferenciar entre lotes de alta calidad y lotes de baja calidad. Esto significa que la probabilidad de aceptar lotes de baja calidad disminuye, mientras que la probabilidad de aceptar lotes de alta calidad aumenta.
Si el comprador cambia a un plan de muestreo a c=2, n=200, NAC=0.005, entonces la probabilidad de aceptación de los envases en aerosol con una proporción de defectuosos de 0.03, sería de 5.9%. Por otro lado, si el fabricante de envases de aerosol mejora su proceso de producción disminuyendo el número de defectos a 0.005 (5 unidades defectuosas por cada 1000 envases fabricados), la probabilidad de aceptación sería de 92.0%.
## Proporción n=100,c=1 n=200,c=2 n=400,c=4
## defectuosos
## 1 0.001 0.995 0.999 1.000
## 2 0.005 0.910 0.920 0.948
## 3 0.010 0.736 0.677 0.629
## 4 0.015 0.557 0.421 0.283
## 5 0.020 0.403 0.235 0.097
## 6 0.030 0.195 0.059 0.007
## 7 0.040 0.087 0.012 0.000
## 8 0.050 0.037 0.002 0.000
## 9 0.060 0.015 0.000 0.000
## 10 0.070 0.006 0.000 0.000
## 11 0.080 0.002 0.000 0.000
## 12 0.100 0.000 0.000 0.000
Si el comprador cambia a un plan de muestreo a c=4, n=400, NAC=0.005, entonces la probabilidad de aceptación de los envases en aerosol con una proporción de defectuosos de 0.03 sería de 0,7%. Por otro lado, si el fabricante de envases de aerosol mejora su proceso de producción disminuyendo el número de defectos a 0.005 (5 unidades defectuosas por cada 1000 envases fabricados), la probabilidad de aceptación sería de 94.8%.
3. El criterio de tamaño de muestra igual a un porcentaje del tamaño de lote es un mal criterio
Si el comprador cambia a un plan de muestreo donde el tamaño de la muestra equivale a un porcentaje del lote de fabricación, y el número de aceptación a un porcentaje de la muestra, aún cuando el fabricante de envases de aerosol empeore su proceso de producción aumentando el número de defectos a 0.05 (5 unidades defectuosas por cada 100 envases fabricados) y opere su proceso a un nivel de calidad 10 veces menor que el NAC, la probabilidad de aceptación sería igual o superior al 90% Este criterio podría ser considerado demasiado permisivo en términos de calidad, lo cual perjudica al comprador y podría resultar en la aprobación de lotes de calidad inferior a la requerida.
## Proporción n=30,c=3 n=50,c=5 n=80,c=8
## defectuosos
## 1 0.001 1.000 1.000 1.000
## 2 0.005 1.000 1.000 1.000
## 3 0.010 1.000 1.000 1.000
## 4 0.015 0.999 1.000 1.000
## 5 0.020 0.997 1.000 1.000
## 6 0.030 0.988 0.996 0.999
## 7 0.040 0.969 0.986 0.995
## 8 0.050 0.939 0.962 0.982
## 9 0.060 0.897 0.922 0.950
## 10 0.070 0.845 0.865 0.893
## 11 0.080 0.784 0.792 0.811
## 12 0.100 0.647 0.616 0.593
4. Al disminuir el número de aceptación c, la curva CO cae más rápido, es decir, es más exigente.
Si el comprador cambia a un plan de muestreo a c=0, n=100, NAC=0.005, entonces la probabilidad de aceptación de los envases en aerosol con una proporción de defectuosos de 0.03, sería de 4.8%%. Mientras que si el comprador cambia a un plan de muestreo a c=3, n=100, NAC=0.005, entonces la probabilidad de aceptación de los envases en aerosol con una proporción de defectuosos de 0.03, sería de 64.7%.
## Proporción n=100,c=0 n=100,c=1 n=100,c=3
## defectuosos
## 1 0.001 0.905 0.995 1.000
## 2 0.005 0.606 0.910 0.998
## 3 0.010 0.366 0.736 0.982
## 4 0.015 0.221 0.557 0.936
## 5 0.020 0.133 0.403 0.859
## 6 0.030 0.048 0.195 0.647
## 7 0.040 0.017 0.087 0.429
## 8 0.050 0.006 0.037 0.258
## 9 0.060 0.002 0.015 0.143
## 10 0.070 0.001 0.006 0.074
## 11 0.080 0.000 0.002 0.037
## 12 0.100 0.000 0.000 0.008
5. Los planes con c=0 no siempre son los más apropiados
Si el comprador cambia a un plan de muestreo a c=0, con diferentes tamaños de muestra, aún cuando el fabricante de envases de aerosol mejore su proceso de producción disminuyendo el número de defectos a 0.005 (5 unidades defectuosas por cada 1000 envases fabricados) y opere su proceso a un nivel de calidad igual al NAC, la probabilidad de aceptación sería menor al 90% Esto podría considerarse como un criterio demasiado estricto en contra del fabricante, lo que podría llevar al rechazo de lotes de buena calidad. La influencia del tamaño de lote en el diseño de planes de muestreo es menor de lo que comúnmente se cree.
## Proporción de defectuosos n= 30 , c= 0 n= 50 , c= 0 n= 80 , c= 0
## 1 0.001 0.970 0.951 0.923
## 2 0.005 0.860 0.778 0.670
## 3 0.010 0.740 0.605 0.448
## 4 0.015 0.635 0.470 0.298
## 5 0.020 0.545 0.364 0.199
## 6 0.030 0.401 0.218 0.087
## 7 0.040 0.294 0.130 0.038
## 8 0.050 0.215 0.077 0.017
## 9 0.060 0.156 0.045 0.007
## 10 0.070 0.113 0.027 0.003
## 11 0.080 0.082 0.015 0.001
## 12 0.100 0.042 0.005 0.000
6. La influencia del tamaño de lote en el diseño de planes de muestreo es menor de lo que comúnmente se cree.
Dado este riesgo, el NAC (Nivel de Calidad Aceptable) debe ser considerado como un estándar de referencia para el proceso de producción, y no como un objetivo final. De hecho, el productor debe esforzarse por operar su proceso a un nivel de calidad superior al NAC.
Referencias:
(1) RPubs - conceptos-estadisticos-distribuciones-probabilisticas-y-curvas-de-operacion
(2) Cristina Sierra, I., & Trujillo González, M. (2014). Propuesta de una guía de análisis para el control de calidad de envases metálicos de aerosol de 25, 4 mm de diámetro de boca. Revista Colombiana de Ciencias Químico-Farmacéuticas, 43(2), 248-264. Para acceder al artículo, visite el siguiente enlace.
(3) Gutiérrez Pulido, H., & De la Vara Salazar, R. (2009). Control estadístico de calidad y seis sigma. México DF: Mc Graw Hill.
(4) Schilling, E. G., & Neubauer, D. V. (2009). Acceptance sampling in quality control. Chapman and Hall/CRC.
(5) https://www.flaticon.es/
